Indépendance et événement contraire

Propriété

Soit \(\text A\)  et  \(\text B\) deux événements d'un univers \(\Omega\) .
\(\text A\) et \(\text B\) sont indépendants si et seulement si  \(\overline{\text A}\)  et  \(\text B\)  le sont également.

Exemple  

On considère le lancer d'un dé cubique équilibré et les événements  `\text A` : « Obtenir un nombre pair » et `\text B` : « Obtenir un nombre strictement supérieur à `4`  ». Ces deux événements sont indépendants. Cela implique directement que :
  \(\overline{\text A}\) : « Obtenir un nombre impair » et  \(\text B\) : « Obtenir un nombre strictement supérieur à `4`  » sont indépendants ; mais également :
\(\text A\) : « Obtenir un nombre pair » et \(\overline{\text B}\) : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à `4`  » ;
et  \(\overline{\text A}\) : « Obtenir un nombre impair » et  \(\overline{\text B}\) : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à `4`  ».

Démonstration

Sens direct
Si \(\text A\)  et  \(\text B\) sont deux événements indépendants, comme  \(\text A\)  et  \(\overline{\text A}\)  forment une partition de l'univers, on a
\(P(\text B) = P(\text A \cap \text B) + P(\overline{\text A} \cap\text B) = P(\text A) \times P( \text B) + P(\overline{\text A} \cap \text B)\) , soit
\(P(\overline{\text A} \cap \text B) = P(\text B) - P( \text A) \times P( \text B) = P(\text B) (1 - P( \text A)) = P(\text B) \times P(\overline{\text A})\) . On en déduit que les événements  \(\overline{\text A}\)  et  \(\text B\)  sont indépendants.

Réciproquement
Si les événements  \(\overline{\text A}\)  et  \(\text B\)  sont indépendants, d'après la démonstration précédente, on sait que les événements  \(\overline{\overline{\text A}}\)  et  \(\text B\)  sont indépendants. Comme  \(\overline{\overline{\text A}}=\text A\) ,   cela équivaut à dire que \(\text A\)  et  \(\text B\)  sont indépendants.